手机浏览器扫描二维码访问
第二十四章首日竞赛
2009年,适逢国际数学奥林匹克IMO举办50届,国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。
在这场50周年庆典,出现了很多闻名世界的数学家。
庆典结束后,则是正式比赛,来自全球105个国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。
整个比赛持续一周时间。
比赛选手将在这为期一周的时间内攻克数学难题,争夺数学奥林匹克的金银铜牌。每个国家的参赛选手,都抱着为国争光的决心前来征战世界。
3月15日,竞赛拉开帷幕
IMO一共六道题,今天考三题,明天考三题,每题7分,满分是42分。每个竞赛日的竞赛时间为4.5个小时,可携带任何文具及作图工具,一切电子设备不被允许带入赛场。
因为竞赛时间较长,各选手可自带食物饮料进场,可并携带不多于三本的参考资料。
但是秦元清除了带了一些吃喝的,其他参考资料一本没带,因为按照以前的情况,参考资料基本上没有什么用的,出题人早已考虑到这些,要是参考资料能够找到解决办法,说明出题人的出题水平太烂了。
这就如同国内考试,开卷考往往比闭卷考难得多。
因为本国选手拿到题目,都已经是换成本国文字,所以选手拿到试卷,都不会存在任何语言文字的障碍。
秦元清拿到试卷,只有三题,第一题是最简单的,要是连第一题都不会做,那么后面两题都不用考虑了。
秦元清很冷静,第一道题最简单,是送分题,可是同样的,一不小心就变成了送命题。
“1、n是一个正整数,a1,a2.....ak(k≥2)是{1,2,......,n}中的不同整数,并且n|ai(ai+1-1)对于所有i=1,2,.......,k-1都成立,证明:ak(a1-1)不能被n整除。”
秦元清看了三遍题目,心中暗骂一下提供这题的人以后生孩子没屁眼,竟然暗设陷阱,一个不小心就会答错掉。
秦元清开始作答,首先利用数学归纳法证明:对任意的整数i(2≤i≤k),都有被整除,得出当i=2时,由已知得能被乘除的结论成立。一步步以此展开,最后得出,ak(a1-1)不能被n整除的结论。
然后秦元清又看向第二道题。
“△ABC外接圆的圆心为O,P、Q分别在线段CA、AB上,K、L、M分别是BP、CQ、PQ的中点,圆Г过K、L、M并且与PQ相切。证明:OP=OQ。”
秦元清这一题审题完成,倒是觉得这一题比上一题容易一些,没有设陷阱。先是做了一个圆,然后化作△ABC,然后又作出CA、AB线段以及P、Q二点,然后标出BP、CQ、PQ的中点K、L、M。最后作出圆Г。
随后以直线PQ与圆Г相切,相切点M,然后通过弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由于点K、M分别是BP、PQ的中点,所以KM∥BQ,从而得出∠QMK=∠AQP。
因此得到∠MLK=∠AQP。
同理,∠MKL=∠APQ。
根据角的相等,得到△MKL∽△APO,从而得到MKML=APAQ
因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点,所以得到KM=BQ2,LM=CP2,将此带入上式得BQCP=APAQ,将式子转为AP·CP=AQ·BQ。通过圆幂定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2
所以,得出结论OP=OQ。
秦元清连检查都没有检查,将抽向的数学问题转为图像,这个是他擅长的地方,他有十全的把握证明。
紧接着秦元清看向第三题,“3、S1,S2,S3,......是严格递增的正整数数列,并且它的子数列SS1、SS2、SS3,.....和SS1+1,SS2+1,SS3+1......都是等差数列。证明:S1,S2,S3......是一个等差数列。”
看着这一题,秦元清微皱起眉头,这一题明显比前面两道题难得多,秦元清将已知条件稍微捋了一下,这一道题融合了等差数列、以及转换法。
秦元清一步一步地展开,通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列,设Ssk=a+(k-1)d1,SSk+1=b+(k-1)d2(k=1,2......,a、b、d1、d2∈N+)。
求道从红楼开始 这个北宋有点怪 外挂级玩家(星环使命) 迁坟人 死亡工厂 大国重工:崛起 斗罗之全职阴阳师 末世之我的红警帝国 鬼王传人(无敌传人) 从巨人开始的无限 影视诸天逍遥行 无限之战斗不止 从民国开始的诸天(从白鹿原开始的诸天) 在火星挖矿的我被曝光了 我有一个武道世界 斗罗行医,却被女神偷听心声 斗罗之唐家逆子 我要与超人约架 我成帝了金手指才来 全球演武,我能登录神诡世界
她原来只是大熙南宫府里没有血缘关系的二小姐,圣上本欲下旨赐婚与南宫大小姐,下旨之后却变成了皇城中从未...
武术已经没落了两百年,但它并没有消失,它依旧存在,存在于每一个人的身边。也许从你身边不经意间走过去的一个人,就是天下第二的高手。什么?为什么他是天下第二而不是天下第一?因为天下第一的位置已经空了。天下第二还活着,没人能坐上天下第一的位子。什么?他什么时候死?别想了,他死了你更坐不上第一了。...
偶遇某个姑娘,从此一发不可收拾,一根筋走上了追妻之路。...
俩个小毛贼行窃无意中误入武林纠纷,徘徊于生死,行走于尖刀。九死一生后却发现了一个关乎江湖生死的重大秘密,贼行天下是该冷眼天下还是盗亦有道。...
不管是天阶战技,还是神级战技。只要让我看一眼,那便是我的战技!新书重生之修罗战帝已发,点击作者头像,即可看到。求多多支持!...
风萧萧兮易水寒,壮士一去兮不复还。战国一曲,是你方唱罢我登场!匆匆来过,匆匆而走,是留下点什么?还是,挥一挥衣袖不带走一片云彩?...