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翌日。
清晨时分,旭日东升,一抹朝阳落在清华园。
西院第28号房。
书房内。
窗户染了一层白霜,一缕缕阳光透过窗户照进无奈,屋内静谧无声,一个木制立式黑板搬进了书房。
“要学微积分,首先你要搞懂微积分是什么,不能知其然,不知其所以然。”华罗庚立于黑板旁边,写下了六个字。
微积分是什么。
“我们先从最基础的求面积讲起,在古希腊时期,阿基米德那个时代人,处于初步发展阶段的几何,数学家们遇到一个棘手且严峻的问题,那就是求面积,三角形和正方形这些图形有面积公式,所以求解很简单,但问题在于,那些不规则图形的面积该怎么求?”
“例如我现在画的这条S型曲线,这条曲线围成的面积需要求解,但没有公式,这个时候,如何求解一条曲线围成的面积,就成为了当时数学家们研究的问题。”
“阿基米德找到了办法,余华,你知道是什么办法吗?”
华罗庚目光看向余华。
“穷竭法,用熟悉的图形去无限逼近曲线围成图形的面积。”余华回答道。
“对,穷竭法,提出者安提芬,改进者欧多克斯,完善者阿基米德,穷竭法思想就是用无限个熟悉图形去求一条曲线围成图形的面积,在数学史上,穷竭法被视为微积分的前身,且严谨性无可挑剔。”
华罗庚右手握着粉笔,画出穷竭法的求解过程,用一个个三角形去填充S型曲线所围成的面积,最终求出面积大小。
整个过程极为繁琐,但无比严谨。
华罗庚求解完成,随即用板刷擦去公式和图形,又重新写下一个新的概念,通过矩形求面积:
“穷竭法沿用到了十七世纪,这一千多年历史之中,有我国的割圆术求面积,但计算过于复杂,并不适用,穷竭法自身局限性也逐渐明显,对于不同曲线围成的面积需要使用不同的图形去逼近,而不同图形的证明技巧并不一样,极为繁琐,这个时期数学界出现‘用矩形来逼近原图形’,思想与穷竭法一致,且更加简单,但矩形求解存在一个问题,那就是失去了严谨性,这是一个非常严重的情况。”
严谨是数学的灵魂。
失去简单性,数学失去很多愚笨者。
失去严谨,数学将会失去一切。
如果一个定理,一个公式,一个数学常数失去了严谨性,那意味着整个数学大厦的崩塌。
余华全神贯注聆听,关于华罗庚讲解的重点,尽数记入脑海之中,理解程度非常迅速。
“牛顿和莱布尼茨对于矩形求解存在的问题非常重视,经过这两位数学家的不懈研究,牛顿和莱布尼茨意外发现了一个关键性东西,也就是微积分最基本和最重要的核心思想,那就是微分与积分之间的互逆运算,用数学公式表达为微积分基本定理。”
华罗庚面容严肃,在黑板上写下了微积分基本定理:“而在此前,微分和积分,还是两个单独学科,微分求导数,积分求面积,互不相干,在牛顿和莱布尼茨的作用下,微积分完整体系建立。”
谷<span> 微分与积分之间的互逆运算。
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